Числові множини

КороткоСкопіювати посилання на розділ

Вкладеність: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$, а також $\I \subset \R$. Множини $\Q$ та $\I$ не перетинаються. Число належить своїй множині і всім більшим, що її містять: 5 — натуральне, отже водночас ціле, раціональне і дійсне.

Простими словамиСкопіювати посилання на розділ

Множина — це набір чисел, ніби «коробка», куди ми складаємо числа за якимось правилом. Кожна нова множина з'явилася, бо старої не вистачало:

1. $\N$ — натуральні ($1, 2, 3, \dots$). Ними лічимо предмети. ❓ $3 - 5 = ?$ Серед натуральних такої відповіді немає.
2. $\Z$ — цілі. Додаємо 0 і від'ємні: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ Тепер $3 - 5 = -2$ ✓ ❓ $1 : 2 = ?$ Серед цілих такої відповіді немає.
3. $\Q$ — раціональні. Додаємо дроби: $\frac12;\ -\frac34;\ 0{,}25;\ 0{,}(3)$… Тепер $1 : 2 = \frac12$ ✓ ❓ Діагональ квадрата зі стороною 1 дорівнює $\sqrt2$, а його неможливо записати дробом.
4. $\I$ — ірраціональні — числа, які не записуються дробом: $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\pi$. Разом із раціональними вони утворюють $\R$ — дійсні числа, тобто всі точки числової прямої.

$\R$ — дійсні

$\Q$ — раціональні

$\Z$ — цілі

$\N$ — натуральні

$1$$2$$3$

$0$$-1$$-2$

$\frac12$$-0{,}75$$0{,}(3)$

$\I$ — ірраціональні

$\sqrt2$$\sqrt5$$\pi$

Звідки взялися буквиСкопіювати посилання на розділ

У книжках часто пишуть з подвійною рискою: $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ — означають те саме. Замість $\I$ інколи пишуть $\R \setminus \Q$ — «дійсні без раціональних».

ЗначкиСкопіювати посилання на розділ

Як визначити множину числаСкопіювати посилання на розділ

Крок 0. Спрости число: добудь корінь, скороти дріб: $\sqrt{16} \to 4$, $\frac{12}{4} \to 3$, $-\sqrt9 \to -3$.

Крок 1. Чи можна записати число дробом (скінченним або періодичним десятковим)?

• ❌ Ні → $\I$ (і $\R$). Кінець.
• ✅ Так → $\Q$ (і $\R$). Переходь до кроку 2.

Крок 2. Чи число ціле (без дробової частини)?

• ❌ Ні → тільки $\Q$, $\R$. Кінець.
• ✅ Так → $\Z$ (і $\Q$, $\R$). Переходь до кроку 3.

Крок 3. Чи число більше за 0?

• ✅ Так → $\N$ (і $\Z$, $\Q$, $\R$).
• ❌ Ні (0 або від'ємне) → тільки $\Z$, $\Q$, $\R$.

Раціональне чи ірраціональнеСкопіювати посилання на розділ

• Скінченний десятковий дріб → раціональне: $0{,}25 = \frac14$
• Нескінченний періодичний дріб → раціональне: $0{,}(3) = \frac13$
• Корінь із числа, що не є точним квадратом → ірраціональне: $\sqrt2$, $\sqrt{12}$. Точні квадрати, які варто пам'ятати: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144
• Корінь, що добувається націло → раціональне: $\sqrt{16} = 4$ (ще й натуральне)
• $\pi$ і нескінченні дроби без періоду ($0{,}1010010001\dots$) → ірраціональні; $3{,}14$ → раціональне

Періодичний дріб → звичайнийСкопіювати посилання на розділ

Чистий період: у чисельнику період, у знаменнику стільки дев'яток, скільки цифр у періоді: $0{,}(3) = \frac39 = \frac13$, $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.

Мішаний період: від усього числа без коми відніми частину до періоду; у знаменнику дев'ятки — за кількістю цифр у періоді, нулі — за кількістю цифр між комою і періодом: $1{,}2(3) = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$.

ПрикладиСкопіювати посилання на розділ

У кожному рядку галочка стоїть або в $\Q$, або в $\I$, і ніколи в обох одразу. А $\R$ є завжди.

Задача: які з чисел $-5;\ 0;\ \sqrt9;\ \frac23;\ \sqrt7;\ 0{,}1(6)$ є цілими? Розв'язок: спрощуємо $\sqrt9 = 3$. Цілі: $-5;\ 0;\ 3$. А $\frac23$ і $0{,}1(6)$ — раціональні, але не цілі; $\sqrt7$ — ірраціональне.

ПасткиСкопіювати посилання на розділ