Модуль числа

КороткоСкопіювати посилання на розділ

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{якщо } a \ge 0 \\ -a, & \text{якщо } a < 0 \end{cases}$$

Геометричний зміст: $|a|$ — відстань від 0 до точки $a$; $|a - b|$ — відстань між точками $a$ і $b$.

Простими словамиСкопіювати посилання на розділ

Модуль — це відстань до нуля на числовій прямій. Відстань не буває від'ємною, тому модуль «прибирає мінус»: $|-5| = 5$ і $|5| = 5$ — обидва числа на відстані 5 від нуля.

ВластивостіСкопіювати посилання на розділ

• $|a| \ge 0$ завжди
• $|-a| = |a|$
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
• $|a|^2 = a^2$, $\sqrt{a^2} = |a|$

Як розкрити модульСкопіювати посилання на розділ

Визнач знак виразу під модулем: якщо він $\ge 0$ — знімай модуль без змін, якщо $< 0$ — міняй знак.

• $|\sqrt3 - 2| = 2 - \sqrt3$, бо $\sqrt3 \approx 1{,}73 < 2$
• $|\pi - 3| = \pi - 3$, бо $\pi > 3$

Рівняння й нерівностіСкопіювати посилання на розділ

ПрикладиСкопіювати посилання на розділ

• $|x - 3| = 5$ → $x - 3 = 5$ або $x - 3 = -5$ → $x = 8$ або $x = -2$
• $|2x - 1| = -3$ → розв'язків немає (модуль не буває від'ємним)
• $|x - 1| \le 2$ → $-2 \le x - 1 \le 2$ → $-1 \le x \le 3$
• $|x| > 4$ → $x < -4$ або $x > 4$

ПасткиСкопіювати посилання на розділ